[이코테_코딩테스트] 그래프 - 서로소 집합 자료구조

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Aug 8, 2023

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서로소 집합 (Disjoint Sets)

공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

서로소 집합 자료구조

서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.

합집합 (Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
찾기 (Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다.

여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정

합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

A와 B의 루트 노드 를 각각 찾는다.
를 의 부모 노드로 설정한다.

모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.

서로소 집합 자료구조 동작 과정

처리할 연산들 :

[초기 단계] 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화한다.

[Step 1] 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 찾는다.

현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정한다.

[Step 2] 노드 2과 노드 3의 루트 노드를 찾는다.

현재 루트 노드는 각각 2와 3이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정한다.

[Step 3] 노드 2과 노드 4의 루트 노드를 찾는다.

현재 루트 노드는 각각 2와 1이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.

3번 노드와 4번 노드는 같은 집합으로 연결되어 있다고 확인할 수 있다.

하지만, 3번 노드의 부모 노드는 2, 4번 노드의 부모 노드는 1이다.

실제로 두 원소가 같은 집합에 포함되어 있는지 확인하기 위해서는 루트 노드를 찾을 수 있도록 해야한다.

3번 노드의 부모를 확인하면 2번 노드가 나오고, 2번 노드의 부모 노드를 확인하면 1번 노드가 나온다.
따라서, 3번 노드의 루트 노드인 1과 4번 노드의 루트 노드인 1이 같기 때문에

3번 노드와 4번 노드는 서로 같은 집합에 속해있다고 판단할 수 있다.

[Step 4] 노드 5과 노드 6의 루트 노드를 찾는다.

현재 루트 노드는 각각 5와 6이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정한다.

서로소 집합 자료구조에서 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있다.

기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.

루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.

다음 예시에서 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 노드 2를 거쳐 노드 1에 접근해야 한다.

서로소 집합 자료구조 - 기본적인 구현 방법 (Python)


# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x]!= x:   # 부모 노드 != 자신 => 루트 노드가 아님
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 찾기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())

# 부모 테이블 초기화
parent = [0] * (v + 1)
# 부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print("각 원소가 속한 집합 : ", end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()

# 부모 테이블 내용 출력
print("부모 테이블 : ", end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

서로소 집합 자료구조 - 기본적인 구현 방법의 문제점

합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작한다.

찾기(Find) 함수는 매번 현재 노드에서 부모 테이블을 참조하여 부모가 자기 자신이 아니라면,

루트가 아니라는 것이므로 자신의 부모에 대해 다시 한 번 재귀적으로 호출한다.

최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 이다.

다음과 같이 {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황
수행된 연산들 :

5번 노드의 루트 노드를 알려면 5 → 4 → 3 → 2 → 1
즉, 모든 노드에 대해서 함수를 호출하게 된다.

서로소 집합 자료구조 - 경로 압축

찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다.

찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.


# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x]!= x:
        # return find_parent(parent, parent[x])
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 다른 코드는 기본적인 구현과 동일

경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 부모 노드가 된다.

위와 동일한 예시에 대해 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다.

기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선된다.

이 글은 유튜브 “동빈나” 채널의 “(이코테 2021 강의 몰아보기) 8. 기타 그래프 이론” 영상을 보고 작성하였습니다.