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💻코딩테스트

[이코테_코딩테스트] 최단 경로 알고리즘 - 1

date
Aug 4, 2023
slug
coding-test-shortest-path-1
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status
Public
tags
Python
코딩테스트
summary
최단 경로 알고리즘을 알아보자
type
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category
💻코딩테스트
updatedAt
Aug 5, 2023 07:58 AM

최단 경로 문제 (Shortest Path Problem)

  • 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
  • 다양한 문제 상황
    • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
    • 한 지점에서 다른 모든 지전까지의 최단 경로
    • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
  • 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
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다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘 개요

  • 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 작동한다.
    • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
    • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.

다익스트라 알고리즘 동작 과정

  1. 출발 노드 설정
  1. 최단 거리 테이블 초기화
  1. 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
  1. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
  1. 위 과정에서 3번과 4번을 반복
 
  • 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다.
  • 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 갱신한다.
notion image
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다익스트라 알고리즘 - 동작 과정 살펴보기

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.

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[Step 1] 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.

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  • 1번 기준 인접한 노드 확인
  • 기존 테이블 값(거리)와 비교해서 작은 값으로 갱신
 

[Step 2] 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

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  • 비용 계산 → 4번 노드까지의 거리 값 + 4번 인접 노드 거리 값
 

[Step 3] 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.

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[Step 4] 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.

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[Step 5] 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.

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[Step 6] 방문하지 않은 노드 중 최단거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다.

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  • 사실, step 6은 처리하지 않아도 결과를 얻을 수 있다.
    • 다른 노드까지의 최단 거리 값은 변경되지 않으므로
 

다익스트라 알고리즘의 특징

  • 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
  • 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
    • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
  • 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
    • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능이 필요하다.
 

다익스트라 알고리즘 - 간단한 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])
 

다익스트라 알고리즘 - 간단한 구현 방법 성능 분석

  • 총 번에 걸쳐 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
  • 따라서 전체 시간 복잡도는 이다.
 
 
이 글은 유튜브 “동빈나” 채널의 “(이코테 2021 강의 몰아보기) 7. 최단 경로 알고리즘” 영상을 보고 작성하였습니다.