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💻코딩테스트

[이코테_코딩테스트] 최단 경로 알고리즘 - 2

date
Aug 5, 2023
slug
coding-test-shortest-path-2
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status
Public
tags
Python
코딩테스트
summary
다익스트라 알고리즘 개선 방안을 알아보자
type
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category
💻코딩테스트
updatedAt
Aug 5, 2023 08:42 AM
  • 어떻게 해야 다익스트라 알고리즘이 더 효율적으로 동작할 수 있을까?

우선순위 큐 (Priority Queue)

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
  • 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
  • Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
notion image
 

힙(Heap)

  • 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용되는 자료구조 중 하나
  • 최소 힙 (Min Heap)과 최대 힙 (Max Heap)이 있다.
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함한 다양한 알고리즘에 사용된다.
notion image

힙 라이브러리 사용 예제 - 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)

    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    # 기본 heap 라이브러리는 min heap 방식
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    
    return result


result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

힙 라이브러리 사용 예제 - 최대 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)

    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    
    return result


result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
  • heap에 넣을 때 부호를 변경해서 입력한 뒤, 꺼낼 때 부호를 변경해서 꺼낸다.
 

다익스트라 알고리즘 - 개선된 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
    • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
    • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용
 

다익스트라 알고리즘 - 동작 과정 (우선순위 큐)

[초기 상태] 그래프 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입

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[Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으니 이를 처리한다.

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[Step 2] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으니 이를 처리한다.

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[Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 2번 노드는 아직 방문하지 않았으니 이를 처리한다.

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[Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으니 이를 처리한다.

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[Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 아직 방문하지 않았으니 이를 처리한다.

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[Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.

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[Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 6번 노드는 아직 방문하지 않았으니 이를 처리한다.

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[Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.

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다익스트라 알고리즘 - 개선된 구현 방법 (Python)

import heapq
import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한 값 의미로 10억 설정

# 노드와 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보 담는 리스트
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용은 c이다.
    graph[a].append((b, c))

"""
이 부분까지는 앞에서 한 다익스트라 알고리즘 구현 방식과 똑같음
방문 처리 목적인 visited,
최단 거리 구하는 get_smallest_node() 사용하지 않음
"""

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로 -> 0으로 설정, 우선수위 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    
    # 우선순위 큐 빌 때까지 반복
    while q:
        # 최단 거리 짧은 노드 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있다면 무시한다.
        if distance[now] < dist:
            continue

        # 현재 노드와 연결된 다른 인접 노드 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 최단 거리 갱신되는 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] == INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i])
 

다익스트라 알고리즘 - 개선된 구현 방법 성능 분석

  • 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는
  • 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로 처리되지 않는다.
    • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
  • 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼는 연산과 매우 유사
    • 시간 복잡도를 로 판단할 수 있다.
    • 중복 간선을 포함하지 않는 경우 이를 로 정리할 수 있다.
 
 
이 글은 유튜브 “동빈나” 채널의 “(이코테 2021 강의 몰아보기) 7. 최단 경로 알고리즘” 영상을 보고 작성하였습니다.