[이코테_코딩테스트] 최단 경로 알고리즘 - 3

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Aug 6, 2023

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Python

코딩테스트

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플로이드 워셜 알고리즘을 알아보자

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💻코딩테스트

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Aug 5, 2023 04:17 PM

플로이드 워셜 (Floyd-Warshall) 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산

• 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
• 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리르 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.

• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.

• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.

• 다익스트라 알고리즘과 비교했을 때 구현 난이도는 쉬운 편
• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산하기 때문에 시간 복잡도는
• 문제 풀이 상황에서 노드의 개수가 적은 상황에서 적합하다.

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
• a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

플로이드 워셜 알고리즘 - 동작 과정

[초기 상태] 그래프를 준비, 최단 거리 테이블 초기화

[Step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신 (k = 1)

• 최단 거리 테이블 중 파란색은 갱신될 가능성이 있는 부분들

• 위 경우는 1번 행, 1번 열, 자기 자신 (대각선)은 갱신 가능성 없음

[Step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신 (k = 2)

[Step 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신 (k = 3)

[Step 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신 (k = 4)

플로이드 워셜 알고리즘 구현 방법 (Python)

INF = int(1e9) # 무한 의미로 10억 사용

# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현) 만들기, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신으로 가는 비용 0으로 설정
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if i == j:
            graph[i][j] = 0

# 각 간선에 대한 정보 입력 받기, 해당 값으로 설정
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 결과값 출력
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우 INF
        if graph[i][j] == INF:
            print("INF")
        else:
            print(graph[i][j], end=" ")
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상 N번의 단계 수행한다.
• 각 단계마다 의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.

• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 이다.

이 글은 유튜브 “동빈나” 채널의 “(이코테 2021 강의 몰아보기) 7. 최단 경로 알고리즘” 영상을 보고 작성하였습니다.